LEIBNIZ-GYMNASIUM

ALTDORF

NATURWISSENSCHAFTLICH-TECHNOLOGISCHES UND SPRACHLICHES GYMNASIUM

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Termine.

Die nuss der woche

Alle Lösungen der vergangenen Nüsse

Nüsse und Lösungen 2015

Mensa.

10. Nuss der Woche

„Im letzten Urlaub hatten wir ein sehr regelmäßiges Wetter.“, erzählt mein Onkel. „Vor jedem Regentag gab es zwei sonnige Tage. Und nach jedem Sonnentag schien fünf Tage später wieder die Sonne.“ „Wenn das dort immer gilt, kann man vielleicht das Wetter vorhersagen.“, meint mein Vater. Im Internet findet er heraus, dass es heute regnet.

Welches Wetter kann man für die nächsten drei Tage erwarten?

 

Wenn es heute regnet, schien gestern und vorgestern die Sonne. Also ist es in drei Tagen (vorgestern + 5 Tage) und in vier Tagen sonnig.

Wenn es morgen oder übermorgen regnen würde, müsste heute die Sonne scheinen (zwei Sonnentage vor dem Regentag!). Da es heute jedoch regnet muss es in den nächsten zwei Tagen sonnig sein.

Insgesamt lacht also in den nächsten vierTagen die Sonne.

(Diese Aufgabe wurde 2014 im Känguru-Wettbewerb (Klassen 5&6) gestellt.)

 

9. Nuss der Woche

Mia hat im Heft ihres Bruders Mike einige Ziffern unkenntlich gemacht. Übrig blieb nur noch:                          , wobei jeder Strich (_) für eine Ziffer steht.

Wie könnte die ursprünglich korrekte Rechnung lauten?

Für die Schüler der 5. Klassen genügt eine Lösung; Sechstklässler sollten mindestens drei Lösungen finden und Siebtklässler sollten die Anzahl aller möglichen Lösungen (< 6) bestimmen.

+
-

Folgende 5 Lösungen gibt es:  96∙7=672

     86∙8=688

     86∙7=602

     76∙9=684

     76∙8=608

8. Nuss der Woche

Chris hat bei einem Schachturnier 24-mal gespielt und genau 30 Punkte erreicht. Dabei gab es für einen Sieg 2 Punkte, für ein Unentschieden („Remis“) 1 Punkt und für eine Niederlage keinen Punkt. Wie viele Spiele hat Chris mehr gewonnen als verloren? Unterscheide dabei folgende Fälle: Chris hat a) keinmal  bzw.  b) viermal unentschieden gespielt.

Zusatz für die 7. Klasse: c)Kann Chris mit sieben Unentschieden 30 Punkte erzielen?

a) 15 Siege und 9 Niederlagen

b) 13 Siege und 7 Niederlagen (4 Unentschieden)

Für alle möglichen(!) Anzahlen von Unentschieden muss Chris 6 Spiele mehr gewinnen als verlieren um 30 Punkte zu erzielen.

c) Bei sieben Unentschieden müssten 30 - 7 = 23 Punkte durch Siege erreicht werden. Diese ungerade Punktzahl kann jedoch nicht allein durch Siege erreicht werden.

 

7. Nuss der Woche

 

Schreibe in die leeren Kästchen natürliche Zahlen so ein,

dass alle Rechnungen (waagrecht und senkrecht) stimmen.

Verwende in  - Klasse 5 nur die Zahlen 1, 2 und 3.

- Klasse 6 nur die Zahlen 1, 2, 3 und 4.

- Klasse 7 nur die Zahlen 1, 2, 3, 4 und 5

(Jede der zugelassenen Zahlen muss mindestens einmal auftreten!)

 

6. Nuss der Woche

 

Hase Löffel geht in die Eiermalschule. In der ersten Stunde färbt er stolz ein Ei, in der zweiten drei Eier. In der dritten schafft er nochmals zwei Eier mehr. In jeder weiteren Stunde kann er die Stundenleistung um zwei Eier steigern.

a) Wie viele Eier färbt er in der elften Stunde?

b) Wie viele Eier hat er insgesamt in den ersten zwei Tagen, also in 16 Stunden, bemalt?

(für 7. Klasse:) c) Wie viele Stunden braucht er, um insgesamt 400 Eier zu färben?

 (Tipp: Es gibt einen einfachen Term für die Gesamtzahl in den ersten k Stunden!)

 

a) In der 3. Stunde 5=2∙3-1 Eier, in der 4. Stunde 7=2∙4-1 Eier und in der 11. Stunde entsprechend 2∙11-1=21 Eier.

b) 1+3+5+7+⋯+(2∙16-1)=(1+31)+(3+29)+(5+27)+ … +(15+17)       =8∙32=256 Eier.

c) Für die Gesamtzahlen gilt: nach 1 Stunde: 1=1^2

nach 2 Stunden: 1+3=4=2^2

nach 3 Stunden: 1+3+5=9=3^2

….

nach 16 Stunden: 256=〖16〗^2

nach k Stunden:  k^2 Eier

Wegen 400=〖20〗^2 benötigt Löffel 20 Stunden.

 

5. Nuss der Woche

 

Bernd und Erich nehmen an einem Radrennen rund um Altdorf teil. Nach dem Rennen stellten sie fest, dass Erich sieben Radfahrer hinter sich gelassen hat und Bernd den 13. Platz erreichte. Zwischen den beiden kamen vier Teilnehmer ins Ziel. An welchem Platz war Erich und wie viele Radfahrer nahmen am Rennen teil?

Die Knobler aus den 7. Klassen sollten die zwei möglichen Lösungen finden.

 

Erich könnte vor oder nach Bernd ins Ziel kommen.

Im ersten Fall wäre Erich auf Platz 13 – 5 = 8, im zweiten Fall 13 + 5 = 18. (Vier Teilnehmer dazwischen!) Insgesamt nahmen dann 8 + 7 = 15 oder 18 + 7 = 25 Radler teil.

4. Nuss der Woche

 

Wenn drei Freitage in einem Monat auf ein gerades Tagesdatum fallen, welcher Wochentag ist dann am 22. dieses Monats? Mögliche Antworten:

(A) Montag      (B) Dienstag      (C) Mittwoch      (D) Donnerstag      (E) Freitag

(nach einer früheren Känguru-Aufgabe)

(Am 19. März ist Känguru-Tag!)

Die drei Freitage mit geradem Tagesdatum sind der 2., 16. und 30. Tag des Monats. (Die beiden anderen Freitage sind am 9. und 23.) der 22. Tag des Monats ist ein Donnerstag (Antwort D).   (Vergleiche Oktober 2015)

3. Nuss der Woche

 

In einer langweiligen Schulstunde, die Gottseidank selten vorkommt, stellt Peter fest, dass 2 Minuten gleich 2∙60=2∙(3∙4∙5)=1∙2∙3∙4∙5 Sekunden sind. Nun fragt er sich, wie lange es dauert, bis 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10 Sekunden verstrichen sind. Wie lautet die Antwort?

 

(nach einer früheren Känguru-Aufgabe)

1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10s=3 628 800s=1008h=42d=6 Wochen

2. Nuss der Woche

 

Anja berichtet von ihrer neuen Schule:

Wir haben jeden Tag von Montag bis Freitag Unterricht mit insgesamt 33 anstrengenden Stunden zu je 45 Minuten. Zum Glück gibt es zwischen zwei Stunden am gleichen Tag immer eine kleinere oder große Pause, eventuell auch eine Mittagspause.

Wie viele Pausen hat Anja pro Woche, in denen sie mit ihren Freunden plaudern kann?

(Übrigens: Die Anzahl hängt nicht von der Verteilung der Stunden auf die Wochentage ab.)

Zwischen 33 Unterrichtsstunden gibt es 32 Unterbrechungen, von denen 4 Nächte sind. Die restlichen 28 Unterbrechungen sind Pausen.

 

1. Nuss der Woche

 

In der Klasse 6g schreiben sich die Kinder gerne Geheimbotschaften, indem sie die Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge durch Zahlen ersetzen (d.h. A = 1, B = 2, …, Z = 26), diese Zahlen dann verdreifachen und das Ergebnis um 8 vergrößern. (Aus D wird z. B. 20.) Der neugierige Erich hat einen Schnipsel mit der Aufschrift 77|11|44|41|__  entdeckt.

 

a) Welches englische Wort ergeben diese Zahlen?

b) Wie könnte die verwischte 5. Zahl lauten, wenn das Wort eine Lehrkraft bezeichnet?

c) Zusatz für 7. Klasse: Warum kann die verwischte Zahl nicht 33 lauten?

a) Das englische Wort heißt „walk“ (gehen).

b) Walke ist stellvertretender Schulleiter und das „e“ wird mit der Zahl 23 verschlüsselt.

c) Subtrahiert man von 33 die Zahl 8, so erhält man 25. Diese Zahl 25 ist jedoch nicht durch 3 teilbar.

 

Nüsse und Lösungen 2014

Bei Sonnenaufgang erwartet die Tauprinzessin ihre elf Elfen zum Verteilen der Tautropfen. „Da haben doch tatsächlich einige verschlafen!“ stellt sie fest. Also verteilt sie ihre 121 Tautropfenkännchen auf die anwesenden Elfen. Jede bekommt die gleiche Anzahl. Schließlich bleiben vier Kännchen übrig, die nicht mehr gerecht verteilt werden können. Wie viele Elfen haben verschlafen?

Lösung: Es haben genau zwei Elfen verschlafen. (Antwort B)

Für ein Tischtennisturnier haben sich 59 Teilnehmer gemeldet. Es wird im KO-System gespielt, d.h. nur der Sieger kommt in die nächste Runde. Ist die Anzahl der Spieler in einer Runde ungerade (wie z. B. hier in der 1. Runde), so erhält einer dieser Spieler ein Freilos, d.h. dieser Glückliche kommt ohne Wettkampf in die nächste Runde.

 

a) Wie viele Teilnehmer sind bei diesem Turnier in den einzelnen Runden spielberechtigt?

b) Wie viele Spiele werden im gesamten Turnier ausgetragen?

Lösung

a) In den einzelnen Spielrunden sind 59, 30, 15, 8, 4 und 2 Spieler zugelassen.

b) Es gibt 29 + 15 + 7 + 4 + 2 + 1 = 58 Spiele.

oder: Bei jedem Spiel scheidet der Verlierer aus. Bei 59 Teilnehmern müssen 58 ausscheiden, also 58 Spiele durchgeführt werden. (Nur der Gesamtsieger gewinnt alle seine Spiele.)

An einem regnerischen Nachmittag lesen Eva und Felix. Eva schmökert erst seit einer Stunde und schaffte in dieser Zeit etwa 36 Seiten. Felix hat schon zwei Stunden früher zu lesen begonnen, ist aber nur halb so schnell wie Eva.

a) Wie viele Seiten hat Felix an diesem Nachmittag schon gelesen?

b) Wie lange sollten beide noch lesen, damit sie gleich viele Seiten gelesen haben?

Lösung:

 Felix liest in einer Stunde 36 : 2 = 18 Seiten, in 3 Stunden also 54 Seiten.

b)Wenn beide noch eine Stunde lesen, haben beide jeweils etwa 72 Seiten gelesen.

Eine vorösterliche Umfrage unter 120 Schülern einer Jahrgangsstufe ergab:

98 dieser Befragten wünschen Schokoladeneier und 76 lieben Eier aus Gelee. Genau 14 Schüler mögen keine der beiden Sorten. Wie viele Schüler essen beide Arten gern?

Lösung:

120 – 14  = 106  Schüler essen mindestens eine Sorte gern.

Da 98 Schokoeier lieben, verschlingen die restlichen 106 – 98 = 8 Schüler nur Gelee-Eier.

Subtrahiert man diese 8 von den 76 Geleefans ab, bleiben 68 Liebhaber für beide Sorten.

Bärbel hat in ihrem Osternest noch 3 Marzipan-, 5 Nougat- und 12 Vollmilcheier, die sich äußerlich nur durch ihre Farbe unterscheiden. Weil sie sich gerne überraschen lässt, greift sie blindlings ins Nest und holt mehrmals nacheinander ein Ei heraus.

 

Wie viele Eier muss sie auf diese Art mindestens aus dem Nest nehmen, damit mit Sicherheit a) mindestens ein Vollmilchei,

b) zwei gleiche Eier

c) von jeder Sorte mindestens ein Ei aus dem Nest geholt wurden.

a) Wenn sie 9 Eier holt, ist sicher ein Vollmilchei dabei.

b) Spätestens beim vierten Ei wird eine Geschmacksrichtung wiederholt.

c) Im ungünstigsten Fall holt sie zuerst alle Nougat- und Vollmilcheier. Nach der nächsten Ziehung, dem 18. Ei, hat sie sicher von jeder Sorte ein Exemplar.

Bei einem Fußballspiel zwischen Lehrern und Schülern fielen viele Tore. Bereits in der 1. Halbzeit konnten sieben Tore bejubelt werden und die erfahrenen Lehrer führten. Doch nach der Pause ging den älteren Lehrern die Puste aus und nur noch die Schüler trafen viermal das Tor. Wie viele Tore erzielte die Lehrermannschaft, wenn sie insgesamt verloren?

Nach der 1. Halbzeit sind nur folgende Spielstände (Lehrer:Schüler) möglich:   4:3, 5:2, 6:1 oder 7:0. Da die Schüler mit vier weiteren Toren gewinnen,

sind nur die ersten beiden Teil-ergebnisse möglich, d. h. die Lehrer haben vier oder fünf Tore erzielt.

Der kleine Bruder Max hat mehrere Ziffern einer Multiplikationsaufgabe seiner Schwester Anna ausradiert. Übrig blieb nur noch: 1? . ??1=1??1 (? steht für eine ausradierte Ziffer.)

a) Kannst du die Sternchen so durch Ziffern ersetzen, dass die Rechnung wieder stimmt?

b) Wie viele verschiedene Lösungen könnte man in a) angeben?

b) Für die Zehnerziffer kann man alle Ziffern von 0 bis 8 einsetzen. (11.191=2101 ist zu groß!) es gibt also 9 verschiedene Lösungen von a)

Die Schildkröten Eile und Weile starten gleichzeitig zu einem Wettlauf über 10 m. Eile eilt in 2 Minuten einen Meter weit, verschnauft 2 min und rennt wieder einen Meter in 2 min, macht eine Pause u.s.w.. Weile läuft jeden Meter in halber Zeit, muss danach sich aber 4 min lang erholen bevor sie den nächsten Meter sprintet.

a) Wie lange braucht Eile für die Gesamtstrecke von 10 m?

b) Welchen Vorsprung (in m) hat die Siegerschildkröte beim Zieleinlauf?

c) (Für 7. Kl.:) Wie oft sind bei diesem Wettlauf Eile und Weile an gleicher Stelle (ohne Start und Ziel)? <Tipp: Stelle die Bewegungen in einem Diagramm dar.>

a) Eile läuft 10 mal2 min lang und macht 9 Pausen von je 2 min, braucht also 38 min.

b) Weile braucht für 8 m genau 8 min reine Laufzeit und pausiert 7 mal 4 min. Die Stelle 8 m erreicht sie also nach 36 min und befindet sich

noch in der Erholungsphase während Eile das Ziel erreicht. Eile hat also 2 m Vorsprung.

c) Eile und Weile sind während des Rennens genau viermal an gleicher Stelle.

Opa Lenz weiß, dass sein Enkel Karli am 13. April Geburtstag hat. Nur erinnert er sich nicht mehr, an welchem Wochentag Karli geboren wurde. Er hat nur noch im Gedächtnis, dass es in dem Geburtsjahr fünf ganze Wochenenden (Samstag und Sonntag) im April gegeben hat. An welchem Wochentag wurde Karli geboren?

Der April (30 Tage) dauert 4 Wochen und zwei Tage. Daher kommen im April zwei Wochen-tage fünfmal vor. Im Geburtsjahr

von Karli sind dies Samstag und Sonntag. Der 1. April war also ein Samstag, der 13. April war demnach ein Donnerstag.

Nüsse und Lösungen 2013

Anna, Eva und Ute sind Biologie-, Geographie- und Mathematiklehrerinnen. Sie haben die Familiennamen Kant, Sand und Stein. (Reihenfolgen hier alphabetisch, nicht personen-bezogen!) In einer Pause erfährt man:

 

Frau Sand erzählt der Biologielehrerin, dass sie mit der Geographielehrerin im Kino war.

Frau Kant erwidert: "Liebe Anna, das hat mir Ute bereits verraten."

Wie heißen die drei Lehrerinnen mit Vor- und Zunamen und welches Fach unterrichten sie?

Anna Sand unterrichtet Mathematik, Eva Kant Biologie und Ute Stein Geographie.

Beim Schulfest spielte die Schulmannschaft Fußball gegen ein Lehrerteam, welches durch ehemalige Schüler verstärkt wurde. Nach einem aufregendem Spiel unterlag das Lehrerteam knapp mit 4 : 5. Im Direktorat wollte Herr Walke wissen, wie das Spiel nach der 1. Halbzeit stand. Da er keine verlässlichen Antworten erhielt, stellt er sich die Frage: Wie viele Halbzeitstände sind eigentlich beim Endstand 4 : 5 möglich? Wie lautet die Lösung?

Die Lehrermannschaft könnte bis zur Pause 0, 1, 2, 3 oder 4 Tore geschossen haben. Zu jeder der fünf Möglichkeiten kommen noch 6 Alternativen für die

Toranzahl der Schüler. Insgesamt sind damit 5 x 6 = 30 verschiedene Halbzeitstände möglich.

Im Lift des Hochhauses „Leibniztower“  sind die Zifferntasten für die Stockwerke ausgefallen. Nur der Auf- und der Abwärtsknopf wirken, wobei der Lift bei der Aufwärtstaste ohne Halt um 9 Etagen nach oben und beim Abwärtsknopf genau 5 Stockwerke nach unten fährt.

 

a) Wie kommt man mit dem Aufzug möglichst schnell in den Keller (Etage „-1“)?

b) Wie viele Auf- und Abfahrten braucht man mindestens, um vom Eingang in den 1. Stock zu gelangen? Wie viele Stockwerke über dem Eingang muss das Hochhaus hierzu mindestens haben? (Der Keller kann als Zwischenstopp benutzt werden.)

c) (Für die 7. Klasse): Warum kann der 1. Stock nicht erreicht werden, wenn bei der Abwärts-fahrt 6 statt 5 Stockwerke überwunden werden?

a) Von der Eingangsebene fährt man einmal nach oben und zweimal nach unten. Dann befindet man sich im Stockwerk 0 + 9 - 5 - 5 = -1, also im Keller.

 

b) Wegen  4*9 - 5*7 = 1 gelangt man mit 4 Aufwärts- und 7 Abwährtsfahrten in den 1. Stock.

Dabei kann die Abfolge so gewählt werden, dass der Lift nicht über den 12 Stock hinaus fahren muss.

 

c) Durch Addition von 9 und Subtraktion von 6 erhält man nur Vielfache von 3, also nicht 1.